沒錯,這標題沒錯,

不是什麼是HODGE 猜想~從函數空間開始講起 .

因為根本沒有人明白HODGE猜想的全相,根本無從可談.
今天我打算是用HODGE 猜想作動機來介紹近代數學中的一個重要CONCEPT:

Function space

或許沒有讀者明白HODGE猜想裏面的定義和奇怪的用語,但不重要,因為我也不明白.
至少我不明白那些重量級的代數TOPO系統和代數幾何的用語.
但我還是有些話要說,
因為至少我問過丘成桐近代幾何大師之一(親口!!面對面!!平坐!!!!我正面,他側身!!!!!!)XDDDD.

起緣是我在為了廣義相義論,不知死活地亂看微分幾何的書時,
正在學微分形式, 正要學其中一個大定理de RAHM 同構定理 特別是以他本人的書來學,
事倍功半,因為我對PDE根本一無所知,Sobolev space, distribution ,Generalized_functions.
而這本書用SHEAF 的成份很少,而用PDE成份很多.

完全是自找苦吃

因為如果用多一點代數,搞不好我對那些推理的信心會多一點,輕輕的滑過去.

 但我對分析的推理有一種天生的小心和怕怕,很多地方停很久,或查書,
不太有動力看過去.
但換了BOTT and TU,看書的感覺便回來了,至少可以看過去一次,雖沒有完全得到所有PROOF,
但至少對代數TOPO在做什麼有一點點了解.

快到今天的引子HODGE猜想了,
因為BOTT and TU前半部花了很大心力在代數TOPO一個很重要的基本定理Poincare duality,
因為我就算讀不動他本人的書,我還是知道這本書後面在講些什麼,
hodge 定理,特別是因為伍鴻熙  花了很大力氣去解釋這個定理之後
(他的緊黎曼曲面引論,和黎曼幾何选讲),
對這個定理的故事也算上略知一二.

所以流形上的topo都可以用調和形式(很特別的FUNCTION,它是滿足在圓周上的平均值等於圓心的值的特別玩意)去定位,

這件事是是十分有趣的.
有空再細講這件事,當我真的明白了之後,用這個感覺, 今天以講故事為主XDD

基於這兩個定理Poincare duality和hodge 定理,
我們便可以很自然地想一下,如果A=B,FOR它們的大結構,

Poincare duality便是說幾何去定義的TOPO "HOMOLOGY"大結構上同構到(再看一下這個)

用函數去定的TOPO "COHOMOLOGY",

而hodge 定理便是說流形上的topo都可以用調和形式(很特別的FUNCTION,它是滿足在圓周上的平均值等於圓心的值的特別玩意)去定位,其中定位是指小結構上的強烈近距大特寫XDDD,所以對用函數去定的TOPO "COHOMOLOGY"的定理(=理解)

那任何有自由之心這項強大道具加持的人,都會去問,
那上面的大結構同構Poincare duality了,那小結構的hodge 定理呢?
會不會在小結構上幾何去定義的TOPO "HOMOLOGY"也有某種 hodge 定理?

有時數學或搞研究便是那麼簡單便可以問中好問題了,
因這為便是一半的HODGE猜想了,那些令人看不懂的用語去了哪???
不是要用代數topo和代數幾何的大工具才能講嗎?

唔~~
某意義上這也是我為什麼要說這是一半的猜想而已的原因之一,

我還要講一下才到goal呢!!

現在要稍微講一下小結構是什麼意思(不是定義)至少在我行文之中的意思,
現在請看圖聽故事,
所謂的小結構of 流形上的 topo
在很粗略又失真的說法之下可以想成是小/子流形 of 流形本身
1 , 2 , 3
圖中的特別的細線都是代表空心甜甜圈中的小/子流形
(封閉的迴路,又或者簡化為圓也很勉強地可以....)
現在請你/妳的注意放在2上面 ,他/她在圖中特別標上的兩線  ,
實線和另一條是不(homolgy)等價的,也就是在幾何去定義的TOPO "HOMOLOGY"之中

其代表的小結構不相同,ex來了XDD請從這些圖去解釋.

如果要真的操作或計算幾何去定義的TOPO "HOMOLOGY" 或用函數去定的TOPO "COHOMOLOGY",
那便要用上代數TOPO的大工具了,而且也要用上微分幾何或代數幾何的東西~~.


而hodge 定理定理是說這些小結構 OF 用函數去定的TOPO "COHOMOLOGY"都是
可以由調和形式(很特別的FUNCTION,它是滿足在圓周上的平均值等於圓心的值的特別玩意),
去唯一代表(也就是之前所說定位的意思了XDD),
那在用函數去定的TOPO "COHOMOLOGY"上面小結構們是可以用很特別的東西調和形式(很特別的FUNCTION,它是滿足在圓周上的平均值等於圓心的值的特別玩意)來唯一代表,
而在幾何去定義的TOPO "HOMOLOGY"裏面的小結構又能用怎樣的特別玩意來對應??

這是我的思路和搞代數幾何的人有不同的方向的開始

代數幾何的人在意的是用代數方式去造出來的幾何,
也就是多項式的零點.
所以他/她們問的方式是"那些小結構是不是代數幾何的物件",
但我才認為神才不會那麼在意代數!
至少我當時是這樣想....
加上我不喜歡代數手法搞幾何的某一面,只要同構存在不問幾何含意

當時我不知道這是HODGE猜想,也就是想在Poincare duality下的hodge 定理,
當時我只是努力在找在幾何上的調和形式的對應物,
因為如果連對應物都不知道,又怎樣進行下一個動作<show that>.
我當時回到hodge 定理的proof上面,我是看緊黎曼曲面引論,和黎曼幾何选讲.
所以我的認知是用Riemann本人的思路,變分法,特別是著名的Dirichlet_principle.
所謂的調和形式是某個泛函的Critical point,
那流形的子結構呢?
也就是幾何的子結構呢?
在二維的情形, 這是很容易便連想到子流形,特別是最標準的子流形,
至少在TORUS上是最小的圓,而且因為一些調和形式在這個情形是和這些圓有分不開的連結,
所以很大膽,武斷地認為是極小子流形了,
因為我的幾何知識實在不多,找不到更對應良好的CONCEPT,
我認定這個從MINIMAL SURFACE推廣上來的CONCEPT是調和形式的對應.
因為這個東西也是由一個functional ~volume functional的Critical point來定義.

所以我的思路的變成Function space之間的DUAL,
不同Function space(曲面和流形也是可以用FUNCTION來講)的泛函的Critical point之間的對應,
這是一個很美的想法,把兩個不同的Function space用幾何和TOPO來連結起來,

好比兩個獨立的沙灘在月滿退潮時,由清亮明白的月光照出一條相通往的銀色小路.....

我們原本是不明白沙灘的,但有了這條小路之後,我們可以多多往返,
慢慢便能明白其中的美妙.

回到正文一開始,我在丘成桐來成大數學系給算子幾何的演講時,在散會時,問他這個笨想法,
他說這就是HODGE猜想,其實在他用口頭告訢我之前,我在他的幾何書上面便看到這個結果,
James Harris Simons,ABOUT 他.

所以這個完全是分析和幾何的混合思路會回到代數空間上.....

這是我只有一種完全被震懾不能言語的感覺,

而且這個思路我很明白是沒有看代數空間的任何結果去想的,因為是我自己的....

原來神是喜愛代數的......

而也有一個很神奇的事,我在打這幾句話的同時,意識到Function space之間的DUAL和代數空間的RELATION是存在的.........